Question

15．已知tan（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{1}{3}$．
（1）求$\frac{sin2α-co{s}^{2}α}{1+sin2α}$的值；
（2）若α為直線l的傾斜角，當直線l與曲線C：x=1+$\sqrt{2y-{y}^{2}}$有兩個交點時，求直線l的縱截距b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和的正切公式，求出tanα的值，再利用三角恒等變換與弦化切公式，即可計算$\frac{sin2α-co{s}^{2}α}{1+sin2α}$的值；
（2）根據(jù)題意設出直線l的方程，化簡曲線C的方程，畫出直線l與C的圖象，結(jié)合圖象即可求出直線l與C有兩個交點時b的取值范圍．

解答 解：∵tan（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{tan\frac{π}{4}+tanα}{1-tan\frac{π}{4}•tanα}$=$\frac{1+tanα}{1-tanα}$=$\frac{1}{3}$，
∴tanα=-$\frac{1}{2}$；
（1）$\frac{sin2α-co{s}^{2}α}{1+sin2α}$=$\frac{2sinαcosα{-cos}^{2}α}{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α+2sinαcosα}$
=$\frac{2tanα-1}{{tan}^{2}α+1+2tanα}$
=$\frac{2×（-\frac{1}{2}）-1}{{（-\frac{1}{2}）}^{2}+1+2×（-\frac{1}{2}）}$
=-8；
（2）若α為直線l的傾斜角，則k=tanα=-$\frac{1}{2}$，
設直線l的方程為y=-$\frac{1}{2}$x+b，
又曲線C：x=1+$\sqrt{2y-{y}^{2}}$可化為（x-1）²+（y-1）²=1（x≥1），
畫出直線l與C的圖象，如圖所示，
則直線l過點A（1，2），此時b=$\frac{5}{2}$；
當直線l過點B時，l與C相切，此時$\frac{|\frac{1}{2}+1-b|}{\sqrt{{（\frac{1}{2}）}^{2}{+1}^{2}}}$=1，
解得b=$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{5}}{2}$或b=$\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{5}}{2}$（不合題意，舍去）；
所以當直線l與C有兩個交點時，$\frac{5}{2}$≤b＜$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查了三角恒等變換與弦化切公式的應用問題，也考查了直線與圓的方程的應用問題，是綜合題．