Question

10．已知函數(shù)f（x）滿足對(duì)一切x₁，x₂∈R都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-4，且f（2）=0，當(dāng)x＞2時(shí)有f（x）＜0．
（1）求f（-2）的值；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法，先令x₁=x₂=0，代入恒等式可得f（0）=2f（0）-4，求求得f（0），再令x₁=1，x₂=-1，代入可得f（0）=f（2）+f（-2）-4，計(jì)算即可得答案；
（2）先利用賦值法證明x＞0時(shí)，f（x）＜2，只需證明0＜x＜1時(shí)，f（x）＜2，再利用函數(shù)單調(diào)性定義證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

解答 解：（1）根據(jù)題意，在f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-4中，
令x₁=x₂=0可得：f（0）=2f（0）-4，則f（0）=4，
再令x₁=-2，x₂=2可得：f（0）=f（2）+f（-2）-4，則f（-2）=f（0）-f（2）+4=8，
則f（-2）=8，
（2）f（x）在R上單調(diào)遞減，
證明：設(shè)0＜x＜2，則x+2＞2，則有f（x+2）=f（x）+f（2）-2=f（x）-2＜0
則0＜x＜2時(shí)，f（x）＜2，
又∵當(dāng)x＞2時(shí)有f（x）＜0，f（1）=0
綜合可得x＞0時(shí)，f（x）＜2，
設(shè)?x₁＜x₂∈R，且x₂-x₁=t＞0
則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（x₁+t）=f（x₁）-f（x₁）-f（t）+2=2-f（t）
∵t＞0，∴f（t）＜2，∴2-f（t）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴函數(shù)f（x）在R上為單調(diào)遞減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意所給的關(guān)系式，利用賦值法求出要求的值或利用定義函數(shù)的單調(diào)性．