Question

15．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$＞$\frac{127}{64}$（n∈N₊）成立，其初始值至少應(yīng)取8．

Answer 1

分析 先通過(guò)解原不等式知，要使原不等式成立，n最小取8，從而根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟證明原不等式對(duì)于任意正整數(shù)n≥8成立：1）n=8時(shí)成立；2）假設(shè)n=k時(shí)成立，然后證明n=k+1時(shí)成立即可．

解答 證明：根據(jù)等比數(shù)列求和公式將原不等式變成：$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{\frac{1}{2}}＞\frac{127}{64}$；
∴$\frac{1}{128}＞（\frac{1}{2}）^{n}$；
∴要使原不等式成立，n最小取8；
∴（1）n=8時(shí)原不等式成立；
（2）假設(shè)n=k時(shí)原不等式成立，即$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{{2}^{k-1}}＞\frac{127}{64}$；
∴n=k+1時(shí)，$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{{2}^{k-1}}+\frac{1}{{2}^{k}}＞\frac{127}{64}+\frac{1}{{2}^{k}}$，$\frac{1}{{2}^{k}}＞0$；
∴$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{{2}^{k}}＞\frac{127}{64}$；
即n=k+1時(shí)原不等式成立；
∴由（1）（2）知原不等式對(duì)于任意正整數(shù)n≥8都成立．
由前面知n最小取8；
∴其初始值最小取8．
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng) 考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，以及利用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟，指數(shù)式的符號(hào)．