Question

4．某公司生產(chǎn)的機器其無故障工作時間X（單位：萬小時）有密度函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{x}^{2}}，x≥1}\\{0，其他}\end{array}\right.$，公司每售出一臺機器可獲利1600元，若機器售后使用1.2萬小時之內(nèi)出故障，則應(yīng)予以更換，這時每臺虧損1200元；若在1.2到2萬小時之間出故障，則予以維修，由公司負擔維修費400元；在使用2萬小時以后出故障，則用戶自己負責，求該公司售出每臺機器的平均獲利．

Answer 1

分析 設(shè)Y表示售出一臺機器的獲利，利用題意列式求解即可．

解答 解：設(shè)Y表示售出一臺機器的獲利．則Y是X的函數(shù)，即
Y=g（X）=$\left\{\begin{array}{l}{-1200}&{0＜X＜1.2}\\{1600-400}&{1.2≤X≤2}\\{1600}&{X＞2}\end{array}\right.$
于是E（Y）=E（g（X））=${∫}_{1}^{1.2}（-1200）\frac{1}{{x}^{2}}dx$+${∫}_{1.2}^{2}1200×\frac{1}{{x}^{2}}dx$+${∫}_{2}^{+∞}1600×\frac{1}{{x}^{2}}dx$
=1000
即該公司售出每臺機器的平均獲利為1000元．

點評 本題住喲考查利用定積分和函數(shù)的思想來考查隨機變量的期望，屬于中檔題型，綜合性比較強．