Question

3．已知函數(shù)f（x）=sinωx-cosωx，ω＞0是常數(shù)，x∈R，且圖象上相鄰兩個最高點的距離為π，則下列說法正確的是（　�。�

• A． ω=1
• B． 曲線y=f（x）關(guān)于點（π，0）對稱
• C． 曲線y=f（x）與直線$x=\frac{π}{2}$對稱
• D． 函數(shù)f（x）在區(qū)間$（0，\frac{π}{3}）$單調(diào)遞增

Answer 1

分析 化簡可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（ωx-$\frac{π}{4}$），分別由三角函數(shù)的周期性、對稱性和單調(diào)性，逐個選項驗證可得．

解答 解：化簡可得f（x）=sinωx-cosωx=$\sqrt{2}$sin（ωx-$\frac{π}{4}$），
∵函數(shù)f（x）圖象上相鄰兩個最高點的距離為π，
∴周期T=$\frac{2π}{ω}$=π，解得ω=2，故A錯誤；
函數(shù)解析式為f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
顯然圖象不過（π，0），故B錯誤；
當x=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)值取不到±$\sqrt{2}$，故C錯誤；
解2kπ-$\frac{π}{2}$＜2x-$\frac{π}{4}$＜2kπ+$\frac{π}{2}$可得kπ-$\frac{π}{8}$＜x＜kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z，
故函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為（-$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$），故D正確．
故選：D．

點評 本題考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．