Question

10．設(shè)f（x）=e^x-e^-x-x．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知g（x）=x²f（x）+（x+1）[f（x）+（1-a）x]+（1-a）x³．若對(duì)所有x≥0，都有g(shù)（x）≥0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)，再根據(jù)基本不等式即可判斷f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，
（2）先化簡(jiǎn)g（x），再利用分析法，故若使g（x）≥0，只需要f（x）+x（1-a）=e^x-e^-x-ax≥0即可，構(gòu)造函數(shù)h（x）=e^x-e^-x-ax，求導(dǎo)后，再分類討論，求出函數(shù)的最值，即可得到參數(shù)的取值范圍．

解答 解；（1）f′（x）=e^x+e^-x-1≥2$\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}$-1=2-1=1＞0，
∴f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）g（x）=x²f（x）+（x+1）[f（x）+（1-a）x]+（1-a）x³．
=（x²+x+1）f（x）+（1-a）[x³+x（x+1）]
=（x²+x+1）[f（x）+x（1-a）]，
顯然x²+x+1＞0，故若使g（x）≥0，只需要f（x）+x（1-a）=e^x-e^-x-ax≥0即可，
令h（x）=e^x-e^-x-ax，
∴h′（x）=e^x+e^-x-a≥2$\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}$-a=2-a，
①當(dāng)2-a≥0時(shí)，即a≤2時(shí)，h′（x）≥0恒成立，
∴h（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，
∴h（x）≥h（0）=0，
即g（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，
②當(dāng)a＞2時(shí)，則令h′（x）=0，即e^x+e^-x-a=0，可化為（e^x）²-ae^x+1=0，
解得e^x=$\frac{a±\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$
∴兩根x₁=ln$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$=ln$\frac{2}{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}$＜0，舍去，x₂=ln$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$＞0，
從而h′（x）=$\frac{（{e}^{x}）^{2}-a{e}^{x}+1}{{e}^{x}}$=$\frac{（{e}^{x}-{e}^{{x}_{1}}）（{e}^{x}-{e}^{{x}_{2}}）}{{e}^{x}}$，
當(dāng)0＜x＜x₂時(shí)，則${e}^{x}＞{e}^{{x}_{1}}$，e^x＜${e}^{{x}_{1}}$，
∴h′（x）＜0，
∴h（x）在[0，x₂]為減函數(shù)，
又h（0）=0，
∴h（x₂）＜0，
∴當(dāng)a＞2時(shí)，h（x）≥0不恒成立，即g（x）≥0不恒成立，
綜上所述a的取值范圍為（-∞，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性最值得關(guān)系，考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和分析能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題