Question

13．已知關(guān)于x的一元二次函數(shù)f（x）=ax²-bx+1
（1）設(shè)集合P={1，2，3}，Q={-1，1，2，3，4}，分別從集合P和Q中隨機取一個數(shù)作為a和b，求函數(shù)y=f（x）有零點的概率
（2）若a是從區(qū)間[1，3]任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間[-1，4]任取的一個數(shù)，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率．

Answer 1

分析 （1）利用乘法原理可求出基本事件的總數(shù)．利用一元二次方程有實數(shù)根（函數(shù)有零點）的充要條件即可得出所包括基本事件的個數(shù)；
（2）Ω對應(yīng)的平面區(qū)域為10，計算函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)對應(yīng)的平面區(qū)域的面積，代入幾何概型概率計算公式，可得答案．

解答 解：（1）∵集合P={1，2，3}，Q={-1，1，2，3，4}，
分別從集合P和Q中隨機取一個數(shù)作為a和b，（a，b）共有：
（1，-1），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），
（2，-1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），
（3，-1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4）15種情況．
滿足△=b²-4a≥0，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6種情況．
∴函數(shù)y=f（x）有零點的概率P=$\frac{6}{15}$=$\frac{2}{5}$．
（2）∵a是從區(qū)間[1，3]任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間[-1，4]任取的一個數(shù)，
∴Ω=$\left\{（a，b）\right|\left\{\begin{array}{l}1≤a≤3\\-1≤b≤4\end{array}\right.\}$，
則Ω對應(yīng)的平面區(qū)域為10，
計函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)為事件A，
則A=$\left\{（a，b）\right|\left\{\begin{array}{l}1≤a≤3\\-1≤b≤\\ \frac{2a}≤1\end{array}\right.\}$，
A對應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示：

平面區(qū)域A的面積為：10-$\frac{1}{2}×2×1$=9，
故函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率P=$\frac{9}{10}$

點評 掌握乘法原理、一元二次方程有實數(shù)根（函數(shù)有零點）的充要條件、二次函數(shù)的單調(diào)性、古典概型的計算公式是解題的關(guān)鍵．