Question

5．根據(jù)下列條件，分別求出對應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式．
（1）已知某二次函數(shù)的最大值為2，圖象的頂點(diǎn)在直線y=x+1上，并且圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，-1）；
（2）已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（-3，0），（1，0），且頂點(diǎn)到x軸的距離等于2；
（3）已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（-1，-22），（0，-8），（2，8）．

Answer 1

分析 （1）由已知設(shè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式為y=a（x-1）²+2，將點(diǎn)（3，-1）代入求出a值，可得答案；
（2）由已知設(shè)二次函數(shù)的交點(diǎn)式為y=a（x-1）（x+3），將頂點(diǎn)（-1，2）或（-1，-2），代入求出a值，可得答案；
（3）設(shè)二次函數(shù)的關(guān)系式為y=ax²+bx+c，根據(jù)二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（-1，-22），（0，-8），（2，8），構(gòu)造方程組，解得答案．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)的最大值為2，圖象的頂點(diǎn)在直線y=x+1上，
故頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），
設(shè)二次函數(shù)的關(guān)系式為：y=a（x-1）²+2，
將點(diǎn)（3，-1）代入得：a=-$\frac{3}{4}$；
∴二次函數(shù)的關(guān)系式為：y=-$\frac{3}{4}$（x-1）²+2=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+$\frac{5}{4}$；
（2）∵二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（-3，0），（1，0），
設(shè)二次函數(shù)的關(guān)系式為：y=a（x-1）（x+3），
又由函數(shù)圖象頂點(diǎn)到x軸的距離等于2；
故函數(shù)圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，2）或（-1，-2），
代入得：a=$±\frac{1}{2}$，
∴y=$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$或y=-$\frac{1}{2}$x²-x+$\frac{3}{2}$．
（3）設(shè)二次函數(shù)的關(guān)系式為y=ax²+bx+c，
∵二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（-1，-22），（0，-8），（2，8）．
∴$\left\{\begin{array}{l}a-b+c=-22\\ c=-8\\ 4a+2b+c=8\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=-2\\ b=12\\ c=-8\end{array}\right.$，
∴二次函數(shù)的關(guān)系式為y=-2x²+12x-8

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．