Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=x3﹣3ax+b．
（1）若曲線y=f（x）在點（2，f（x））處與直線y=8相切，求a，b的值．
（2）在（1）的條件下求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值點．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=3x2﹣3a，

∵曲線y=f（x）在點（2，f（2））處與直線y=8相切，

∴ ，∴ ，∴

（2）解：∵f′（x）=3x2﹣12，

由f′（x）=0，解得：x=±2，

令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜﹣2，

令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜2，

故f（x）在（﹣∞，﹣2）遞增，在（﹣2，2）遞減，在（2，+∞）遞增；

∴此時x=﹣2是f（x）的極大值點，x=2是f（x）的極小值點

【解析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義，可得關(guān)于a，b的方程組，解出即可；（2）首先求f′（x）=0的自變量的值，然后判斷導數(shù)為0的點的兩側(cè)的導數(shù)是不是變號，根據(jù)導數(shù)的符號得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及極值點．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減)，還要掌握函數(shù)的極值與導數(shù)(求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．