Question

9．已知函數(shù)f（x）的定義域為[-1，5]，部分對應值如表，f（x）的導函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示．

x	-1	0	4	5
f（x）	1	2	2	1

下列關于函數(shù)f（x）的命題：
①函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)；
②函數(shù)f（x）在[0，2]上是減函數(shù)；
③如果當x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2，那么t的最大值為5；
④當1＜a＜2時，函數(shù)y=f（x）-a有4個零點．
其中所有真命題的序號為②③．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的圖象，可判斷①的真假；
根據(jù)已知導函數(shù)的圖象，易分析出f（x）在[0，2]上的單調性，可判斷②的真假；
根據(jù)已知導函數(shù)的圖象，及表中幾個點的坐標，易分析出0≤t≤5，均能保證x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2，進而判斷③的真假；
由f（x）=a，因為極小值f（2）未知，所以無法判斷函數(shù)y=f（x）-a有幾個零點，進而判斷④的真假．

解答 解：由圖象不能判斷y出f（x）是否為周期函數(shù)，故①不正確；
由已知中y=f′（x）的圖象可得在[0，2]上f′（x）＜0，即f（x）在[0，2]是減函數(shù)，即②正確；
由已知中y=f′（x）的圖象，及表中數(shù)據(jù)可得當x=0或x=4時，函數(shù)取最大值2，若x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2，那么0≤t≤5，故t的最大值為5，即③正確
由f（x）=a，因為極小值f（2）未知，所以無法判斷函數(shù)y=f（x）-a有幾個零點，所以④不正確．
答案為：②③

點評 本題考查的知識點是命題的真假判斷，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，其中根據(jù)已知，分析出函數(shù)的大致形狀，利用圖象分析函數(shù)的性質是解答本題的關鍵．