Question

9．定義D上函數(shù)f（x）滿足：如果對(duì)任意x₁，x₂∈D，都有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≥$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，則稱f（x）是D上的凸函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)y=$\sqrt{x}$是否為凸函數(shù)？為什么？
（2）若函數(shù)f（x）=log_ax在（0，+∞）上是凸函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，不等式f（mx²+x）≤0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)y=$\sqrt{x}$是凸函數(shù)．運(yùn)用分析法，設(shè)x₁，x₂∈[0，+∞），由新定義即可得到結(jié)論；
（2）由凸函數(shù)的定義，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)和基本不等式即可得到a＞1；
（3）由題意可得0＜mx²+x≤1，運(yùn)用參數(shù)分離可得-$\frac{1}{x}$＜m≤$\frac{1-x}{{x}^{2}}$在x∈（0，1]恒成立，分別求得左右兩邊的最值，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）函數(shù)y=$\sqrt{x}$是凸函數(shù)．
理由是設(shè)x₁，x₂∈[0，+∞），$\sqrt{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$≥$\frac{1}{2}$（$\sqrt{{x}_{1}}$+$\sqrt{{x}_{2}}$），即為：
$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$≥$\frac{1}{4}$（x₁+x₂+2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$），
即為x₁+x₂≥2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$，由均值不等式可得顯然成立；
（2）函數(shù)f（x）=log_ax在（0，+∞）上是凸函數(shù)，可得：
log_a$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$≥$\frac{1}{2}$（log_ax₁+log_ax₂）=log_a$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$
由x₁+x₂≥2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$，可得a＞1；
（3）當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，不等式f（mx²+x）≤0恒成立，即為：
log_a（mx²+x）≤0，即有0＜mx²+x≤1，
可得-$\frac{1}{x}$＜m≤$\frac{1-x}{{x}^{2}}$在x∈（0，1]恒成立，
由-$\frac{1}{x}$∈（-∞，-1]，可得m＞-1；
由$\frac{1-x}{{x}^{2}}$=（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{x}$≥1時(shí)，可得$\frac{1-x}{{x}^{2}}$≥0，
可得m≤0．
可得-1＜m≤0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，以及不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．