Question

已知函數f（x）=

px-p

-lnx（p＞0）．
（Ⅰ）若函數f（x）在定義域內為增函數，求實數p的取值范圍；
（Ⅱ）當n∈N^*時，試判斷

n

k=1

2k+1

k

與2ln（n+1）的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

考點：函數的定義域及其求法,利用導數研究函數的單調性

專題：函數思想,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）由p＞0，求出函數f（x）的定義域；利用導數f′（x）≥0在其定義域上恒成立，求出p的取值范圍；
（Ⅱ）n∈N^*時，

n

k=1

2k+1

k

＞2ln（n+1），證明時只需證

2k+1

k

＞2[ln（k+1）-lnk]（k∈N^*）即可，
利用（Ⅰ）中p=1時，f（x）≥f（1），證明

2k+1

k

＞2[ln（k+1）-lnk]（k∈N^*），即可得出結論．

解答： 解：（Ⅰ）∵p＞0，∴

px-p≥0 x＞0

，∴x≥1；
∴函數f（x）=

px-p

-lnx的定義域為[1，+∞）．
又∵f′（x）=

p

2 px-p

-

1

x

，
由題意，

p

2 px-p

≥

1

x

在x∈（1，+∞）上恒成立，
即p≥

4(x-1)

x2

在x∈（1，+∞）上恒成立；
∵

4(x-1)

x2

=4[-(

1

x

-

1

2

)2+

1

4

]≤1，
∴p≥1，∴p的取值范圍為[1，+∞）．…（6分）
（Ⅱ）當n∈N^*時，

n

k=1

2k+1

k

＞2ln（n+1）．
證明：當n∈N^*時，欲證

n

k=1

2k+1

k

＞2ln（n+1），
只需證

2k+1

k

＞2[ln（k+1）-lnk]（k∈N^*）．
由（Ⅰ）知：取p=1，則f（x）≥f（1）（其中x≥1），
而f（1）=0，∴

x-1

≥lnx（當x=1時，等號成立）．
用(

x+1

x

)2代換x，得

( x+1 x )2-1

＞ln(

x+1

x

)2（其中x＞0），
即

2x+1

x

＞2[ln（x+1）-lnx]（x＞0），
∴

2k+1

k

＞2[ln（k+1）-lnk]（k∈N^*）．
在上式中分別取k=1，2，3，…，n，并將同向不等式相加，
得

n

k=1

2k+1

k

＞2ln（n+1）．
∴當n∈N^*時，

n

k

2k+1

k

＞2ln（n+1）．…（12分）

點評：本題考查了求函數的定義域以及利用導數判定函數的單調性，利用函數的單調性判定函數值的大小問題，也考查了函數思想與轉化思想，是綜合性題目．