Question

已知數(shù)列{a_n}的前三項分別為a₁=

λ

，a₂=

λ+2

，a₃=

λ+4

，（其中λ為正常數(shù)）．設(shè)f（x）=a₁²x+a₂²x²+a₃²x³+…a_n²xⁿ．
（1）歸納出數(shù)列{a_n}的通項公式，并證明數(shù)列{a_n}不可能為等比數(shù)列；
（2）若λ=1，求f（2）的值；
（3）若λ=4，試證明：當(dāng)n≥2時，a_n+1+a_n-1＜2a_n．

Answer 1

考點：歸納推理,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,推理和證明

分析：（1）由已知中a₁=

λ

，a₂=

λ+2

，a₃=

λ+4

，可知數(shù)列被開方數(shù)是一個以λ為首項，以2為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而歸納出數(shù)列{a_n}的通項公式，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的定義，可得數(shù)列{a_n}不可能為等比數(shù)列；
（2）若λ=1，可得數(shù)列{a_n}的通項公式，進(jìn)而得到f（x）的表達(dá)式，利用錯位相減法，可得f（2）的值；
（3）若λ=4，可得數(shù)列{a_n}的通項公式，進(jìn)而利用分析法可證得當(dāng)n≥2時，a_n+1+a_n-1＜2a_n．

解答： 解：（1）數(shù)列{a_n}的通項公式為an=

2n+λ-2

． …（2分）
下面證明數(shù)列{a_n}不可能為等比數(shù)列：
假設(shè)數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，則a22=a1a3，
即

λ+2

2=

λ

λ+4

（λ＞0），
即

λ2+4λ+4

=

λ2+4λ

（λ＞0），
由λ²+4λ+4≠λ²+4λ，
故數(shù)列{a_n}不可能為等比數(shù)列；
（2）若λ=1，則an=

2n-1

，
則a_n²=2n-1，
∴f（x）=x+3x²+5x³+…+（2n-1）xⁿ．
∴f（2）=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-3）×2^n-1+（2n-1）×2ⁿ．…①，
∴2f（2）=2×2+3×2³+5×2⁴+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹．…②，
①-②得：
-f（2）=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）×2ⁿ⁺¹=（1-n）2ⁿ⁺²+2ⁿ⁺¹-6．
∴f（2）=（n-1）2ⁿ⁺²-2ⁿ⁺¹+6．
（3）若λ=4，an=

2n+2

當(dāng)n≥2時，欲證 a_n+1+a_n-1＜2a_n，
只需證 

2n+4

+

2n

＜2

2n+2

只需證 

2n+4

2+2

2n+4

•

2n

+

2n

2＜4

2n+2

2
只需證  

n2+2n

＜n+1
只需證  

n2+2n

2＜(n+1)2
只需證  0＜1
顯然 不等式0＜1成立，
因此 當(dāng)n≥2時，a_n+1+a_n-1＜2a_n．                …（14分）

點評：本題考查的知識點是歸納推理，等比數(shù)列的證明，數(shù)列求和，不等式證明，是數(shù)列，不等式，函數(shù)，推理與證明的綜合應(yīng)用，綜合性強，難度大．