Question

3．設函數(shù)y=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{3}+{x}^{2}，x＜e}\\{alnx，x≥e}\end{array}\right.$的圖象上存在兩點P，Q，使得△POQ是以O為直角頂點的直角三角形（其中O為坐標原點），且斜邊的中點恰好在y軸上，則實數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{1}{e+1}$]．

Answer 1

分析 曲線y=f（x）上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在y軸兩側．設P（t，f（t））（t＞0），則Q（-t，t³+t²），運用向量垂直的條件：數(shù)量積為0，構造函數(shù)h（x）=（x+1）lnx（x≥e），運用導數(shù)判斷單調性，求得最值，即可得到a的范圍．

解答 解：假設曲線y=f（x）上存在兩點P、Q滿足題設要求，
則點P、Q只能在y軸兩側．
不妨設P（t，f（t））（t＞0），
則Q（-t，t³+t²），
∵△POQ是以O為直角頂點的直角三角形，
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，
即-t²+f（t）（t³+t²）=0（*）
若方程（*）有解，存在滿足題設要求的兩點P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設要求的兩點P、Q．
若0＜t＜e，則f（t）=-t³+t²代入（*）式得：-t²+（-t³+t²）（t³+t²）=0
即t⁴-t²+1=0，而此方程無解，因此t≥e，此時f（t）=alnt，
代入（*）式得：-t²+（alnt）（t³+t²）=0，
即$\frac{1}{a}$=（t+1）lnt（**）
令h（x）=（x+1）lnx（x≥e），
則h′（x）=lnx+1+$\frac{1}{x}$＞0，
∴h（x）在[e，+∞）上單調遞增，
∵t≥e∴h（t）≥h（e）=e+1，
∴h（t）的取值范圍是[e+1，+∞）．
∴對于0＜a≤$\frac{1}{e+1}$，方程（**）總有解，即方程（*）總有解．
故答案為：（0，$\frac{1}{e+1}$]．

點評 本題考查分段函數(shù)的運用，注意向量垂直條件的運用和中點坐標公式，考查構造法和函數(shù)的單調性運用，屬于中檔題．