Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-$\frac{5}{2}$|+|x-a|，x∈R．
（Ⅰ）求證：當a=-$\frac{1}{2}$時，不等式f（x）≥3成立；
（Ⅱ）關(guān)于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求實數(shù)a的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用零點分區(qū)間的方法，去掉絕對值，由一次函數(shù)的單調(diào)性可得f（x）的范圍，即可得證；
（Ⅱ）運用絕對值不等式的性質(zhì)，可得f（x）的最小值，由不等式恒成立思想可得|a-$\frac{5}{2}$|≥a，再由絕對值不等式的解法，可得a的范圍．

解答 （Ⅰ）證明：當a=-$\frac{1}{2}$時，f（x）=|x-$\frac{5}{2}$|+|x+$\frac{1}{2}$|，
當x$＜-\frac{1}{2}$時，f（x）=-x+$\frac{5}{2}$-x-$\frac{1}{2}$=2-2x＞3；
當x$＞\frac{5}{2}$時，f（x）=x-$\frac{5}{2}$+x+$\frac{1}{2}$=2x-2＞3；
當-$\frac{1}{2}≤x≤$$\frac{5}{2}$時，f（x）=-x+$\frac{5}{2}$+x+$\frac{1}{2}$=3．
則f（x）的最小值為3，
即有f等式f（x）≥3成立；
（Ⅱ）f（x）=|x-$\frac{5}{2}$|+|x-a|≥|（x-$\frac{5}{2}$）-（x-a）|=|a-$\frac{5}{2}$|，
即有f（x）的最小值為|a-$\frac{5}{2}$|，
由題意可得|a-$\frac{5}{2}$|≥a，
即為a-$\frac{5}{2}$≥a或a-$\frac{5}{2}$≤-a，
解得a$≤\frac{5}{4}$．
即有a的最大值為$\frac{5}{4}$．

點評 本題考查絕對值不等式的解法和含絕對值函數(shù)的值域，同時考查不等式恒成立思想的運用和絕對值不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．