Question

5．函數(shù)f（x）=log_a（x³-3ax）（a＞0，a≠1）在區(qū)間（-$\sqrt{2}$，-1）內(nèi)單調(diào)遞減，a的取值范圍是（　　）

• A． [2，+∞）
• B． （1，$\sqrt{2}$）
• C． [$\frac{2}{3}$，1）
• D． [$\frac{2}{3}$，1）∪[2，+∞）

Answer 1

分析 將函數(shù)看作是復合函數(shù)，令g（x）=x³-3ax，先求出函數(shù)的定義域，用導數(shù)來判斷其單調(diào)性，再由復合函數(shù)“同增異減”求得結(jié)果．

解答 解：令t=g（x）=x³-3ax，則g（x）＞0．得到 x∈（-$\sqrt{3a}$，0）∪（ $\sqrt{3a}$，+∞），
由于g′（x）=3x²-3a，故x∈（-$\sqrt{a}$，0）時，g（x）單調(diào)遞減，?
x∈（-$\sqrt{3a}$，-$\sqrt{a}$）或x∈（$\sqrt{3a}$，+∞）時，g（x）單調(diào)遞增．?
∴當a＞1時，函數(shù)y=log_at為增函數(shù)，
函數(shù)f（x）減區(qū)間為（-$\sqrt{a}$，0），
此時-$\sqrt{a}$≤-$\sqrt{2}$，得a≥2，
當0＜a＜1時，函數(shù)y=log_at為減函數(shù)，
則f（x）的增區(qū)間為（-$\sqrt{3a}$，-$\sqrt{a}$），
∵f（x）在區(qū)間（-$\sqrt{2}$，-1）內(nèi)單調(diào)遞減，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3a}≤-\sqrt{2}}\\{-\sqrt{a}≥-1}\\{0＜a＜1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a≥\frac{2}{3}}\\{0≤a≤1}\\{0＜a＜1}\end{array}\right.$，解得$\frac{2}{3}$≤a＜1，
綜上，a∈[$\frac{2}{3}$，1）∪[2，+∞）．
故選：D．

點評 本題主要考查復合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)論是同增異減，解題時一定要注意定義域，根據(jù)導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關鍵．屬于中檔題．