Question

18．若命題：“?x∈R，x²-2ax+a≤0”為假命題，則$\frac{{2{a^2}+1}}{a}$的最小值是（　�。�

• A． $2\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $2\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)命題為假命題求出a的取值范圍，再利用基本不等式求式子的最小值即可．

解答 解：∵?x∈R，x²-2ax+a≤0”為假命題，
∴?x∈R，x²-2ax+a＞0”，
即△=4a²-4a＜0，
∴a²-a＜0，解得0＜a＜1；
∴$\frac{{2a}^{2}+1}{a}$=2a+$\frac{1}{a}$≥2$\sqrt{2a•\frac{1}{a}}$，
當且僅當2a=$\frac{1}{a}$，即a²=$\frac{1}{2}$，a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（此值滿足0＜a＜1）時取等號，
∴$\frac{{2a}^{2}+1}{a}$的最小值為2$\sqrt{2}$．
故選：A．

點評 本題主要考查含有量詞的命題的應(yīng)用，以及基本不等式的應(yīng)用，解題時應(yīng)注意基本不等式成立的條件，是基礎(chǔ)題．