Question

11．已知矩陣A=$[\begin{array}{l}{a}&{1}\\{1}&{a}\end{array}]$，直線(xiàn)l：x-y+4=0在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本�(xiàn)l′：x-y+2a=0．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求A²．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線(xiàn)l上一點(diǎn)M（x₀，y₀）在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)閘′上點(diǎn)M（x，y），通過(guò)$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{a}&{1}\\{1}&{a}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{{x}_{0}}\\{{y}_{0}}\end{array}]$，用x₀、y₀表示x、y并代入直線(xiàn)l′方程，利用點(diǎn)M在直線(xiàn)l上可得a的值；
（2）由a=2直接計(jì)算即可．

解答 解：（1）設(shè)直線(xiàn)l上一點(diǎn)M（x₀，y₀）在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)閘′上點(diǎn)M（x，y），
則$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{a}&{1}\\{1}&{a}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{{x}_{0}}\\{{y}_{0}}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{a{x}_{0}+{y}_{0}}\\{{x}_{0}+a{y}_{0}}\end{array}]$，
所以$\left\{\begin{array}{l}{x=a{x}_{0}+{y}_{0}}\\{y={x}_{0}+a{y}_{0}}\end{array}\right.$，
代入l′方程得（ax₀+y₀）-（x₀+ay₀）+2a=0，
即（a-1）x₀-（a-1）y₀+2a=0．
∵（x₀，y₀）滿(mǎn)足x₀-y₀+4=0，
∴$\frac{2a}{a-1}$=4，解得a=2；
（2）由A=$[\begin{array}{l}{a}&{1}\\{1}&{a}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{2}&{1}\\{1}&{2}\end{array}]$，
得A²=$[\begin{array}{l}{2}&{1}\\{1}&{2}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{2}&{1}\\{1}&{2}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{5}&{4}\\{4}&{5}\end{array}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查矩陣與變換等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．