Question

6．已知函數(shù)f（x）=cosx（2$\sqrt{3}$sinx+cosx）-sin²x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x） 在區(qū)間[$\frac{π}{2}$，π]上的最大值及相應(yīng)的x的值；
（Ⅱ）若f（x₀）=2，且x₀∈（0，2π），求x₀的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），由x∈[$\frac{π}{2}$，π]，可求sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，$\frac{1}{2}$]，從而可求當(dāng)且僅當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{13π}{6}$，即x=π時(shí)，f（x）_max=1．
（Ⅱ）由題意，2sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）=2，又x₀∈（0，2π），可得2x₀+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{25π}{6}$），即可解得x₀的值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=cosx（2$\sqrt{3}$sinx+cosx）-sin²x
=cosx（2$\sqrt{3}$sinx+cosx）-sin²x
=2$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x-sin²x
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∵x∈[$\frac{π}{2}$，π]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{7π}{6}$，$\frac{13π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，$\frac{1}{2}$]，
∴當(dāng)且僅當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{13π}{6}$，即x=π時(shí)，f（x）_max=1；…8分
（Ⅱ）由題意，2sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）=2，所以sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）=1，
又x₀∈（0，2π），所以2x₀+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{25π}{6}$），
所以2x₀+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$或2x₀+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{2}$，
所以x₀=$\frac{π}{6}$或x₀=$\frac{7π}{6}$．…13分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．