Question

已知[x）表示大于x的最小整數，例如[3）=4，[-1.3）=-1．下列命題：
①函數f（x）=[x）-x的值域是（0，1]；
②若{a_n}是等差數列，則{[a_n）}也是等差數列；
③若{a_n}是等比數列，則{[a_n）}也是等比數列；
④若x∈（1，2014），則方程[x）-x=

1

2

有2013個根．
其中正確的序號是

 

．（把你認為正確的序號都填上）

Answer 1

考點：進行簡單的合情推理

專題：推理和證明

分析：根據定義一一加以判斷：對①考慮當x為整數和不為整數；對②可取特殊數列比如整數等差數列和非整數等差數列加以檢驗；對③也取特殊數列驗證；對④由定義通過列舉即可．

解答： 解：對①，當x為整數時，[x）=x+1，即[x）-x=1，當x不為整數時，0＜[x）-x＜1，
所以函數f（x）=[x）-x的 值域是（0，1]即①對；
對②，當數列{a_n}是整數構成的等差數列，則數列{[a_n）}也是等差數列；當{a_n}不是整數構成的等差數列，則數列{[a_n）}不是等差數列．
例如：數列{a_n}：0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9，1.0，1.1；
那么數列{[a_n）}：1，1，1，1，1，1，2，2顯然不是等差數列．故②錯；
對③，可取等比數列{a_n}：1，2，4，8，16；則數列{[a_n）}為：2，3，5，9，17顯然不是等比數列，故③錯；
對④，因為x∈（1，2014），方程[x）-x=

1

2

，所以x可取1.5，2.5，3.5，4.5，…，2013.5總共有2013個根，故④對．
故答案為：①④．

點評：本題是一道新定義題，解題關鍵是理解定義，從而掌握定義，對有些命題可通過取特殊情況加以判斷，也可通過列舉法一一舉出來，注意不重不漏，本題是一道中檔題．