Question

16．調(diào)查表明，市民對城市的居住滿意度與該城市環(huán)境質(zhì)量、城市建設(shè)、物價與收入的滿意度有極強的相關(guān)性，現(xiàn)將這三項的滿意度指標(biāo)分別記為x、y、z，并對它們進行量化：0表示不滿意，1表示基本滿意，2表示滿意，再用綜合指標(biāo)ω=x+y+z的值評定居民對城市的居住滿意度等級：若ω≥4，則居住滿意度為一級；若2≤ω≤3，則居住滿意度為二級；若0≤ω≤1，則居住滿意度為三級，為了解某城市居民對該城市的居住滿意度，研究人員從此城市居民中隨機抽取10人進行調(diào)查，得到如下結(jié)果：

人員編號	1	2	3	4	5
（x，y，z）	（1，1，2）	（2，1，1）	（2，2，2）	（0，1，1）	（1，2，1）
人員編號	6	7	8	9	10
（x，y，z）	（1，2，2）	（1，1，1）	（1，2，2）	（1，0，0）	（1，1，1）

（Ⅰ）在這10名被調(diào)查者中任取兩人，求這兩人的居住滿意度指標(biāo)z相同的概率；
（Ⅱ）從居住滿意度為一級的被調(diào)查者中隨機抽取一人，其綜合指標(biāo)為m，從居住滿意度不是一級的被調(diào)查者中任取一人，其綜合指標(biāo)為n，記隨機變量ξ=m-n，求隨機變量ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）記事件A為“從10被調(diào)查者中任取兩人，這兩人的居住滿意度指標(biāo)z相同”，從10被調(diào)查者中任取兩人，先求出基本事件總數(shù)，再求出這兩人的居住滿意度指標(biāo)z相同的結(jié)果，由此能求出這兩人的居住滿意度指標(biāo)z相同的概率．
（Ⅱ）由題意ξ=m-n的可能取值為1，2，3，4，5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（Ⅰ）記事件A為“從10被調(diào)查者中任取兩人，這兩人的居住滿意度指標(biāo)z相同”，
則居住滿意指標(biāo)z為0的只有編號為9的一位，
居住滿意指標(biāo)z為1的有編號為2，4，5，7，10，共五位，
居住滿意指標(biāo)z為2的有編號為1，3，6，8，共四位，
從10被調(diào)查者中任取兩人，基本事件總數(shù)n=${C}_{5}^{2}$=10，
這兩人的居住滿意度指標(biāo)z相同的結(jié)果為${C}_{5}^{2}+{C}_{4}^{2}$=16，
∴這兩人的居住滿意度指標(biāo)z相同的概率p=$\frac{16}{45}$．
（Ⅱ）計算10名被調(diào)查者的綜合指標(biāo)，可列下表：

人員編號	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
綜合指標(biāo)	4	4	6	2	4	5	3	5	1	3

其中居住滿意度為一級的有編號為1，2，3，5，6，8共六位，則m的可能取值為4，5，6，
居住滿意度不是一級的有編號為4，7，9，10共四位，則n的可能取值為1，2，3，
∴ξ=m-n的可能取值為1，2，3，4，5，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{1}}$=$\frac{1}{4}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{1}^{1}+{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{1}}$=$\frac{7}{24}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{1}^{1}+{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}+{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{1}}$=$\frac{7}{24}$，
P（ξ=4）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{1}^{1}+{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{1}}$=$\frac{1}{8}$，
P（ξ=5）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{1}}$=$\frac{1}{24}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	1	2	3	4	5
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{7}{24}$	$\frac{7}{24}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{24}$

Eξ=$1×\frac{1}{4}+2×\frac{7}{24}+3×\frac{7}{24}+4×\frac{1}{8}+5×\frac{1}{24}$=$\frac{29}{12}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運用．