Question

10．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過點P （3，$\sqrt{5}$）且傾斜角為$\frac{3}{4}$π．在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為ρ=2$\sqrt{5}$sinθ．
（Ⅰ）求直線l的一個參數(shù)方程和圓C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)圓C與直線l交于點A，B，求|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接由已知寫出直線l的參數(shù)方程，再由ρ²=x²+y²，y=ρsinθ化圓C的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，化為關(guān)于t的一元二次方程，結(jié)合參數(shù)t的幾何意義求解．

解答 解：（Ⅰ）∵直線l過點P （3，$\sqrt{5}$）且傾斜角為$\frac{3}{4}$π，
∴直線l參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+tcos\frac{3}{4}π}\\{y=\sqrt{5}+tsin\frac{3}{4}π}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）；
由ρ=2$\sqrt{5}$sin θ，得${ρ}^{2}=2\sqrt{5}ρsinθ$，
即x²+y²-2$\sqrt{5}$y=0，化為標(biāo)準(zhǔn)方程得x²+（y-$\sqrt{5}$）²=5；
（Ⅱ）將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，
得（3-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$t）²=5，即t²-3$\sqrt{2}$t+4=0．  
由于△=（-3$\sqrt{2}$）²-4×4=2＞0，
故可設(shè)t₁，t₂是上述方程的兩實根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{t}_{1}+{t}_{2}=3\sqrt{2}}\\{{t}_{1}•{t}_{2}=4}\end{array}\right.$，
又直線l過點P（3，$\sqrt{5}$），
故由上式及t的幾何意義得|PA||PB|=|t₁t₂|=4．

點評 本題考查簡單曲線的極坐標(biāo)方程，考查直線參數(shù)方程中此時t的幾何意義的應(yīng)用，是中檔題．