Question

2．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知4sin²$\frac{A+B}{2}$-cos2C=$\frac{7}{2}$，c=$\sqrt{7}$．
（1）若a+b=5，求△ABC的面積；
（2）求a+b的最大值，并判斷此時(shí)△ABC的形狀．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式化簡(jiǎn)4sin²$\frac{A+B}{2}$-cos2C=$\frac{7}{2}$，通過(guò)余弦函數(shù)求解C．利用余弦定理求出ab，然后求解三角形的面積．
（2）法一：利用正弦定理表示，a+b=2R（sinA+sinB），通過(guò)兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)通過(guò)角A的范圍求出最值，然后判斷三角形的形狀．
法二：由余弦定理得：7=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，求出a+b≤2$\sqrt{7}$，然后判斷三角形的形狀．

解答 解：由4sin²$\frac{A+B}{2}$-cos2C=$\frac{7}{2}$得2（1-cos（A+B））-cos2C=$\frac{7}{2}$
∴2+2cosC-2cos²C+1=$\frac{7}{2}$，
∴（2cosC-1）²=0，∴cosC=$\frac{1}{2}$，
又0＜C＜π，∴C=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理得：7=a²+b²-ab，∴7=（a+b）²-3ab，∴ab=6
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absin$\frac{π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
（2）法一：a+b=2R（sinA+sinB）=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$[sin（$\frac{2π}{3}$-A）+sinA]
=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{3}{2}$sinA）=2$\sqrt{7}$sin（A+$\frac{π}{6}$）
∵0＜A＜$\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$
∴當(dāng)A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即A=$\frac{π}{3}$時(shí)，a+b最大為2$\sqrt{7}$
此時(shí)△ABC為等邊三角形．
法二：由余弦定理得：7=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab
∴7≥（a+b）²-$\frac{3（a+b）^{2}}{4}$=$\frac{（a+b）^{2}}{4}$
∴（a+b）²≤28，a+b≤2$\sqrt{7}$
當(dāng)且僅當(dāng)a=b等號(hào)成立，∴a+b最大為2$\sqrt{7}$
此時(shí)△ABC為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，三角形的形狀的判斷，兩角和與差的三角函數(shù)，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．