Question

16．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+3．
（1）若f（x）為偶函數(shù)，求實數(shù)a的值；
（2）若f（x）在[1，+∞]內(nèi)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）求f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用偶函數(shù)的定義，建立方程，即可求實數(shù)a的值；
（2）函數(shù)的對稱軸為x=-$\frac{a}{2}$，利用f（x）在[1，+∞]內(nèi)遞增，建立不等式，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（3）分類討論求f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值．

解答 解：（1）∵f（x）為偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），
∴x²-ax+3=x²+ax+3，
∴a=0；
（2）函數(shù)的對稱軸為x=-$\frac{a}{2}$，
∵f（x）在[1，+∞]內(nèi)遞增，
∴-$\frac{a}{2}$≤1，
∴a≥-2；
（3）a≥-2時，f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值為f（2）=7+2a；
a＜-2時，f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值為f（0）=3．

點評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)最大值的求法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．