Question

5．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，點E、F在PC、AC上，PE=$\frac{1}{4}$PC．
（I）若EF∥平面PBD，求的$\frac{AF}{AC}$的值；
（II）若PA=AB，三棱錐C-BDE的體積為8，求正方形ABCD的邊長．

Answer 1

分析 （1）設AB，BD交于點G，連結(jié)PG，利用線面平行的性質(zhì)可得EF∥PG，在利用相似三角形得出$\frac{CF}{FG}$，再根據(jù)G是AC中點推出$\frac{AF}{AC}$．
（2）根據(jù)體積列出方程解出底面邊長．

解答 解：（1）設AB，BD交于點G，連結(jié)PG，∵EF∥平面PBD，EF?平面PAC，平面PAC∩平面PBD=PG，
∴EF∥PG，∴△CEF∽△CPG，∴$\frac{CF}{CG}=\frac{CE}{PC}$=$\frac{3}{4}$．
∵底面ABCD是正方形，∴AG=CG，∴$\frac{CF}{AC}=\frac{3}{8}$．∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{5}{8}$．
（2）設底面ABCD的邊長為x．則S_△BCD=$\frac{{x}^{2}}{2}$，PA=x，
∴V_棱錐C-BDE=$\frac{1}{3}$×S_△BCD×$\frac{3}{4}$x=$\frac{{x}^{3}}{8}$=8，∴x=4．
∴正方形ABCD的邊長是4．

點評 本題考查了線面平行的性質(zhì)，相似三角形，棱錐的體積，屬于中檔題．