Question

20．如圖，四邊形ABCD是矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F(xiàn)為CE上的點，且BF⊥平面ACE，AC和BD交于點G．
（1）證明：AE∥平面BFD；
（2）求點F到平面BCD的距離．

Answer 1

分析 （1）連接GF，由三角形的中位線可得到GF∥AE，再由線面平行的判定定理得證；
（3）用等體積法，V_D-ABE=V_E-ABD，求出F到平面BCD的距離．

解答 解：（1）連接FG，因為BF垂直平面ACE，BF⊥CE，EB=BC=2，F(xiàn)為EC的中點，
GF為△AEC的中位線，GF∥AE，所以AE∥平面BFD；
（2）用等體積法：V_D-ABE=V_E-ABD，DA⊥平面ABE，
DA⊥AE，矩形ABCD中，BC∥DA，BC⊥AE，又BC⊥BF，
所以AE⊥平面CBE，所以AE⊥CE，
在直角△CBE中，EB=BC=2，CE=$2\sqrt{2}$，
在直角△CAE中，EA=2，CE=$2\sqrt{2}$，AC=$2\sqrt{3}$，${V_{D-ABE}}=\frac{1}{3}{S_{ABE}}•DA=\frac{4}{3}$，
${V_{E-ABD}}=\frac{1}{3}{S_{ABD}}•h=\frac{4}{3}$，h=$\sqrt{2}$．F為EC的中點，
F到平面ABC的距離為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

點評 本題主要考查線線，線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化，考查了線面平行，垂直的判定定理以及點到平面的距離，屬中檔題．