Question

11．已知m，n∈R₊，求證：$\frac{m+n}{2}$≥$\root{m+n}{{m}^{n}{n}^{m}}$．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)y=lnx，運用二次求導(dǎo)，判斷函數(shù)y=lnx在（0，+∞）上是遞增且上凸的函數(shù)，即有$\frac{m}{m+n}$lnn+$\frac{n}{m+n}$lnm≤ln（$\frac{m}{m+n}$•n+$\frac{n}{m+n}$•m），化簡整理，再由$\frac{m+n}{2}$與$\frac{2mn}{m+n}$作差比較，即可得證．

解答 證明：構(gòu)造函數(shù)y=lnx，
則y′=$\frac{1}{x}$，（$\frac{1}{x}$）′=-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0，
即有函數(shù)y=lnx在（0，+∞）上是遞增且上凸的函數(shù)，
由m，n＞0，且$\frac{m}{m+n}$+$\frac{n}{m+n}$=1，
則$\frac{m}{m+n}$lnn+$\frac{n}{m+n}$lnm≤ln（$\frac{m}{m+n}$•n+$\frac{n}{m+n}$•m）
=ln$\frac{2mn}{m+n}$，
而$\frac{m+n}{2}$-$\frac{2mn}{m+n}$=$\frac{（m+n）^{2}-4mn}{2（m+n）}$=$\frac{（m-n）^{2}}{2（m+n）}$≥0，
即有l(wèi)n$\frac{2mn}{m+n}$≤ln$\frac{m+n}{2}$，
則有$\frac{m}{m+n}$lnn+$\frac{n}{m+n}$lnm≤ln$\frac{m+n}{2}$，
即有$\frac{m+n}{2}$≥$\root{m+n}{{m}^{n}{n}^{m}}$成立．

點評 本題考查不等式的證明，主要考查構(gòu)造函數(shù)運用函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性證明，屬于中檔題．