2．曲線y=x（3lnx+1）在點(diǎn)（1，1）處的切線與直線x=0和y=x圍成的三角形的面積為$\frac{3}{2}$．

分析 根據(jù)求導(dǎo)公式求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，把x=1代入求出切線的斜率，代入點(diǎn)斜式方程并化簡(jiǎn)，分別令x=0和y=x求出切線與它們的交點(diǎn)坐標(biāo)，再代入面積公式求解．

解答 解：∵y=x（3lnx+1），
∴y′=3lnx+4，
∴曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線斜率k=4，
∴切線方程為：y-1=4（x-1），
即y=4x-3，
令x=0得，y=-3；令y=x得，x=1，
∴在點(diǎn)（1，1）處的切線與直線x=0和y=x
圍成的三角形的面積為$\frac{1}{2}$×3×1=$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的求法和三角形的面積公式，考查考生的計(jì)算能力，求出切線方程是關(guān)鍵．

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1．已知點(diǎn)A（2，1）、B（4，5）、M（x，y）為動(dòng)點(diǎn)，O為原點(diǎn)，若$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OM}$在$\overrightarrow{OB}$方向上的投影相等，則點(diǎn)M的軌跡方程為4x+5y=13．

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（2）$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$為定值；
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11．已知m，n∈R+，求證：$\frac{m+n}{2}$≥$\root{m+n}{{m}^{n}{n}^{m}}$．

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12．已知實(shí)數(shù)p＞0，曲線C1：$\left\{\begin{array}{l}{x=2p{t}^{2}}\\{y=2pt}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）上的點(diǎn)A（2，m），曲線C2：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{p}{2}+6cosθ}\\{y=6sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）的圓心為點(diǎn)B，A、B兩點(diǎn)間的距離等于圓C2的半徑，則p=8．

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