Question

12．給出兩點(diǎn)A（3，-2），B（-2，3）．
（1）再給出點(diǎn)C（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$），求證A，B，C三點(diǎn)共線；
（2）再設(shè)點(diǎn)D（m，n²+2n-1）（m，n∈R）是直線AB上異于點(diǎn)A的點(diǎn)．求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量的坐標(biāo)表示，判斷$\overrightarrow{AB}$∥$\overrightarrow{AC}$，即可證明A，B，C三點(diǎn)共線；
（2）根據(jù)題意，$\overrightarrow{AD}$∥$\overrightarrow{AB}$，列出方程，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出m的取值范圍．

解答 解：（1）∵A（3，-2），B（-2，3），C（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-2-3，3+2）=（-5，5），
$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{1}{3}$-3，$\frac{2}{3}$+2）=（-$\frac{8}{3}$，$\frac{8}{3}$），
且-5×$\frac{8}{3}$-5×（-$\frac{8}{3}$）=0，
∴$\overrightarrow{AB}$∥$\overrightarrow{AC}$，
∴A，B，C三點(diǎn)共線；
（2）∵$\overrightarrow{AD}$=（m-3，n²+2n+1），
且$\overrightarrow{AD}$∥$\overrightarrow{AB}$，
∴-5（n²+2n+1）-5（m-3）=0，
∴m=-（n+1）²+3≤3；
又點(diǎn)D是直線AB上異于點(diǎn)A的點(diǎn)，
∴m的取值范圍是m＜3．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的應(yīng)用問題，也考查了證明三點(diǎn)共線的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．