Question

1．若函數f（x）=kx-e^x有零點，則實數k的取值范圍為（　　）

• A． k＜0
• B． k≥e
• C． k≥e或k＜0
• D． 0＜k≤e

Answer 1

分析 原題等價于函數g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$（x≠0）的值域，求導函數可得函數的單調性，可得值域，可得答案．

解答 解：當x=0時，可得f（0）=-1，故x=0不是函數的零點；
當x≠0時，由函數f（x）=kx-e^x有零點可得kx=e^x有解，
即k=$\frac{{e}^{x}}{x}$，故k的取值范圍為函數g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$（x≠0）的值域，
∵y′=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
令y′＜0可得x＜1，故函數g（x）在（-∞，0）上單調遞減，（0，1）上單調遞減，（1，+∞）上單調遞增，
故當x＜0時，函數值g（x）＜0，
當x＞0時，g（1）為函數的最小值，且g（1）=e，故g（x）≥e，
綜上可得g（x）的取值范圍為g（x）＜0或g（x）≥e，
故k的取值范圍為：k＜0或k≥e．
故選：C．

點評 本題考查函數零點的判斷，轉化為函數的值域是解決問題的關鍵，屬中檔題．