Question

15．在直角坐標(biāo)系中，已知曲線C：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}acosθ\\ y=\sqrt{2}asinθ\end{array}\right.$（ a＞0，θ為參數(shù)），設(shè)點(diǎn)O（0，0），B（0，$\sqrt{2}$a），F(xiàn)（-a，0），若點(diǎn)P在曲線C上，且位于第二象限內(nèi)．
（1）求到直線x-y-5a=0的距離為最大值的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求S_△PB0•S_△PFO的最大值；
（3）設(shè)直線$\sqrt{2}$cosθ•x+$\sqrt{3}$sinθ•y=$\sqrt{6}$a（$\frac{π}{2}$＜θ＜π） 分別交x，y軸于點(diǎn)M，N．求$\frac{{{S_{△PBO}}}}{{{S_{△MON}}}}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)的和差公式及其單調(diào)性即可得出；
（2）利用三角形面積公式及其三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（3）利用三角形的面積計(jì)算公式、三角函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)P$（\sqrt{3}acosθ，\sqrt{2}asinθ）$，則點(diǎn)P到直線的距離d=$\frac{|\sqrt{3}acosθ-\sqrt{2}asinθ-5a|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{5}asin（θ-α）+5a|}{\sqrt{2}}$≤$\frac{\sqrt{5}+5}{\sqrt{2}}a$，
當(dāng)且僅當(dāng)$cosα=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$，$sinα=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$，sin（θ-α）=-1時(shí)取等號(hào)，∴P$（-\frac{3\sqrt{5}}{5}a，\frac{2\sqrt{5}}{5}a）$．
（2）設(shè)P（$\sqrt{3}$acosθ，$\sqrt{2}$asinθ） （$\frac{π}{2}$＜θ＜π），
∴S_△PBO•S_△PFO=-$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$a²$\sqrt{3}$cosθ•$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$a²sinθ
=-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$a⁴sinθcosθ
=-$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$a⁴sin2θ≤$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$a⁴，
當(dāng)θ=$\frac{3π}{4}$時(shí)，S_△PBO•S_△PFO=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$a ⁴．
∴S_△PBO•S_△PFO的最大值為$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$a⁴．
（3）∵直線$\sqrt{2}$cosθ•x+$\sqrt{3}$sinθ•y=$\sqrt{6}$a （$\frac{π}{2}$＜θ＜π）分別交x，y軸于點(diǎn)M，N，
∴S_△OMN=-$\frac{1}{2}$$\frac{{\sqrt{2}a}}{sinθ}$•$\frac{{\sqrt{3}a}}{cosθ}$=-$\frac{{\sqrt{6}{a^2}}}{2sinθcosθ}$．
∵S_△PBO=-$\frac{{\sqrt{6}{a^2}}}{2}$cosθ，
∴$\frac{{S_{△PBO}^{\;}}}{{{S_{△OMN}}}}$=sinθcos²θ=sinθ（1-sin²θ）．
令t=sinθ，則0＜t＜1，
設(shè)f （t）=-t³+t，f′（t）=-3t²+1=-3（t-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$）（t+$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$），
∴f （t）在（0，$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，1）上單調(diào)遞減，故f （t）_max=f （$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$）=$\frac{{2\sqrt{3}}}{9}$，即 $\frac{{S_{△PBO}^{\;}}}{{{S_{△OMN}}}}$≤$\frac{{2\sqrt{3}}}{9}$，
當(dāng)sinθ=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$時(shí)取等號(hào)，∴$\frac{{S_{△PBO}^{\;}}}{{{S_{△OMN}}}}$的最大值為$\frac{{2\sqrt{3}}}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)的和差公式及其單調(diào)性、三角形面積公式、三角函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．