Question

5．設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當x≥0時，f（x）=$\sqrt{x+2}$．
（1）當x＜0時，求f（x）的解析式；
（2）當m∈R時，試比較f（m-1）和f（3-m）的大��；
（3）求最小的整數(shù)m（m≥-2），使得存在實數(shù)t，對任意的x∈[m，10]，都有f（x+t）≤x+3．

Answer 1

分析 （1）當x＜0時，-x＞0，利用f（x）為R上的偶函數(shù)，當x≥0時，f（x）=$\sqrt{x+2}$，可求函數(shù)的解析式；
（2）當x≥0時，f（x）=$\sqrt{x+2}$單調(diào)遞增，而f（x）是偶函數(shù)，所以f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，從而可得當m＞2時，f（m-1）＞f（3-m）；當m=2時，f（m-1）=f（3-m）；當m＜2時，f（m-1）＜f（3-m）；
（3）當x∈R時，f（x）=$\sqrt{\left|x\right|+2}$，則f（x+t）≤x+3對x∈[m，10]恒成立，從而有$\left\{\begin{array}{l}t≤{x}^{2}+5x+7\\ t≥-{x}^{2}-7x-7\end{array}\right.$對x∈[m，10]恒成立，由此可求適合題意的最小整數(shù)m的值．

解答 解：（1）當x＜0時，-x＞0，
∵f（x）為R上的偶函數(shù)，
當x≥0時，f（x）=$\sqrt{x+2}$，
∴f（x）=f（-x）=$\sqrt{-x+2}$…（3分）
（2）當x≥0時，f（x）=$\sqrt{x+2}$單調(diào)遞增，而f（x）是偶函數(shù)，所以f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，
所以f（m-1）＞f（3-m）
所以|m-1|＞|3-m|
所以（m-1）²＞（3-m）²
所以m＞2…（6分）
所以當m＞2時，f（m-1）＞f（3-m）；
當m=2時，f（m-1）=f（3-m）；
當m＜2時，f（m-1）＜f（3-m）…（8分）
（3）當x∈R時，f（x）=$\sqrt{\left|x\right|+2}$，則由f（x+t）≤x+3，得$\sqrt{|x+t|+2}$≤x+3，
即|x+t|+2≤（x+3）²對x∈[m，10]恒成立…（12分）
從而有$\left\{\begin{array}{l}t≤{x}^{2}+5x+7\\ t≥-{x}^{2}-7x-7\end{array}\right.$對x∈[m，10]恒成立，因為m≥-2，
所以$\left\{\begin{array}{l}t≤（{x}^{2}+5x+7）_{min}{=m}^{2}+5m+7\\ t≥（-{x}^{2}-7x-7）_{max}{=-m}^{2}-7m-7\end{array}\right.$…（14分）
因為存在這樣的t，所以-m²-7m-7≤m²+5m+7，即m²+6m+7≥0…（15分）
又m≥-2，所以適合題意的最小整數(shù)m=-1…（16分）

點評 本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合，考查函數(shù)的解析式，考查恒成立問題，分離參數(shù)，確定函數(shù)的最值是關(guān)鍵．