Question

19．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=（-1）ⁿ（a_n•${2^{a_n}}$+$\frac{1}{{\sqrt{{a_{n+1}}}-\sqrt{a_n}}}$），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)數(shù)列的遞推公式得到a_n=n，
（Ⅱ）化簡得到b_n=n•（-2）ⁿ+（-1）ⁿ（$\sqrt{n+1}$+$\sqrt{n}$），設(shè)數(shù)列{n•（-2）ⁿ}的前n項(xiàng)和為A_n，數(shù)列$\left\{{{{（-1）}^n}（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）}\right\}$的前n項(xiàng)和為B_n，對(duì)于A_n用錯(cuò)位相減法即可求出，對(duì)于Bn裂項(xiàng)求和，繼而得到數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\frac{n（n+1）}{2}-\frac{（n-1）n}{2}=n$．
又a₁=1也滿足上式，所以a_n=n．
（Ⅱ）${b_n}={（-1）^n}（{a_n}•{2^{a_n}}+\frac{1}{{\sqrt{{a_{n+1}}}-\sqrt{a_n}}}）={（-1）^n}（n•{2^n}+\frac{1}{{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}}）=n•{（-2）^n}+{（-1）^n}（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）$．
設(shè)數(shù)列{n•（-2）ⁿ}的前n項(xiàng)和為A_n，數(shù)列$\left\{{{{（-1）}^n}（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）}\right\}$的前n項(xiàng)和為B_n，
則${A_n}=1•（-2）+2•{（-2）^2}+3•{（-2）^3}+…+n•{（-2）^n}$，
$-2{A_n}=1•{（-2）^2}+2•{（-2）^3}+3•{（-2）^4}+…+（n-1）•{（-2）^n}+n•{（-2）^{n+1}}$，
所以$3{A_n}=（-2）+{（-2）^2}+{（-2）^3}+…+{（-2）^n}-n•{（-2）^{n+1}}$=$\frac{{（-2）-{{（-2）}^n}•（-2）}}{1-（-2）}-n•{（-2）^{n+1}}=-\frac{2}{3}-\frac{3n+1}{3}•{（-2）^{n+1}}$，
所以${A_n}=-\frac{2}{9}-\frac{3n+1}{9}•{（-2）^{n+1}}$．
又${B_n}=-（\sqrt{2}+1）+（\sqrt{3}+\sqrt{2}）-（\sqrt{4}+\sqrt{3}）+…+{（-1）^n}•（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）$=${（-1）^n}•\sqrt{n+1}-1$．
所以${T_n}=-\frac{2}{9}-\frac{3n+1}{9}•{（-2）^{n+1}}+{（-1）^n}•\sqrt{n+1}-1$=$-\frac{11}{9}-\frac{3n+1}{9}•{（-2）^{n+1}}+{（-1）^n}•\sqrt{n+1}$．
（說明：也可寫成${T_n}\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{11}{9}-\frac{3n+1}{9}•{{（-2）}^{n+1}}-\sqrt{n+1}，n為奇數(shù)}\\{-\frac{11}{9}-\frac{3n+1}{9}•{{（-2）}^{n+1}}+\sqrt{n+1}，n為偶數(shù)}\end{array}}\right.$同樣給分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列求和，要求熟練掌握錯(cuò)位相減法和裂項(xiàng)求和，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．