【題目】已知橢圓的離心率為,點在橢圓上.

(1)求橢圓的方程;

(2)若不過原點的直線與橢圓相交于,兩點,與直線相交于點,且是線段的中點,求面積的最大值.

【答案】(1);(2).

【解析】

(1)根據(jù)離心率為,點在橢圓上,結(jié)合性質(zhì) ,列出關(guān)于 、 、的方程組,求出 、,即可得結(jié)果;(2)先判斷直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為,與聯(lián)立消,得,由在直線上求得,利用弦長公式、點到直線距離公式,結(jié)合三角形面積公式求得,利用基本不等式可得結(jié)果.

(1)由橢圓的離心率為,點在橢圓上,得,解得,所以橢圓的方程為.

(2)易得直線的方程為.

當(dāng)直線的斜率不存在時,的中點不在直線上,故直線的斜率存在.

設(shè)直線的方程為,與聯(lián)立消,得,所以.

設(shè),

,.由,

所以的中點,

因為在直線上,所以,解得

所以,得,且,

,

又原點到直線的距離,所以 ,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,符合,且,所以面積的最大值為.

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次數(shù)

年齡

18歲至31歲

8

12

20

60

140

150

32歲至44歲

12

28

20

140

60

150

45歲至59歲

25

50

80

100

225

450

60歲及以上

25

10

10

19

4

2

聯(lián)合國世界衛(wèi)生組織于2013年確定新的年齡分段:44歲及以下為青年人,45歲至59歲為中年人,60歲及以上為老人.

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(2)用樣本估計總體的思想,解決如下問題:

①估計該市在32歲至44歲年齡段的一個青年人每月騎車的平均次數(shù);

②若月騎車次數(shù)不少于30次者稱為“騎行愛好者”,根據(jù)這些數(shù)據(jù),統(tǒng)計并完成下表,說明能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為“騎行愛好者”與“青年人”有關(guān)?

青年人

非青年人

合計

騎行愛好者

非騎行愛好者

合計

0.10

0.05

0.025

0.10

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

參數(shù)數(shù)據(jù):

(其中

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