【題目】從某企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品的生產(chǎn)線上隨機抽取 件產(chǎn)品,測量這批產(chǎn)品的一項質量指標值,由測量結果得如圖所示的頻率分布直方圖：

(Ⅰ) 估計這批產(chǎn)品質量指標值的樣本平均數(shù)和樣本方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；

(Ⅱ) 若該種產(chǎn)品的等級及相應等級產(chǎn)品的利潤(每件)參照以下規(guī)則(其中為產(chǎn)品質量指標值):

當, 該產(chǎn)品定為一等品,企業(yè)可獲利 200 元；

當且，該產(chǎn)品定為二等品,企業(yè)可獲利 100 元；

當且，該產(chǎn)品定為三等品,企業(yè)將損失 500 元；

否則該產(chǎn)品定為不合格品,企業(yè)將損失 1000 元．

(ⅰ)若測得一箱產(chǎn)品(5 件)的質量指標數(shù)據(jù)分別為：76、85、93、105、112,求該箱產(chǎn)品的利潤；

(ⅱ)設事件；事件；事件. 根據(jù)經(jīng)驗,對于該生產(chǎn)線上的產(chǎn)品,事件發(fā)生的概率分別為0.6826、0.9544、0.9974.根據(jù)以上信息,若產(chǎn)品預計年產(chǎn)量為10000件,試估計該產(chǎn)品年獲利情況.(參考數(shù)據(jù):)

【答案】（1）平均數(shù)的估計值為 100,方差的估計值為 104．（2）100元，元

【解析】試題分析：（1）根據(jù)組中值與對應區(qū)間概率乘積的和計算平均數(shù)，根據(jù)方差公式求方差，（2）(ⅰ)先根據(jù)定義分別求出各箱對應利潤，再求和，(ⅱ) )根據(jù)提供的概率分布,估計出10000件產(chǎn)品中三個等級的件數(shù)，再根據(jù)定義分別求出各箱對應利潤，最后求和.

試題解析：(Ⅰ) 質量指標的樣本平均數(shù)

,

質量指標的樣本的方差,這種產(chǎn)品質量指標的平均數(shù)的估計值為 100,方差的估計值為 104．

(Ⅱ)因

.

(i)計算得5件產(chǎn)品中有一等品兩件：93,105；二等品兩件：85,112；三等品一件：76.

故根據(jù)規(guī)則,獲利為: 元．

(ⅱ)根據(jù)提供的概率分布,該企業(yè)生產(chǎn)的 10000件產(chǎn)品中一等品大約為 件,

二等品大約為件,三等品件,

不合格品大約為件.

估計年獲利為: 元.

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