Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-3x²+ax（a∈R）的所有切線中，有且僅有一條切線l與直線y=x垂直．
（1）求a的值和切線l的方程；
（2）設(shè)曲線y=f（x）在任一點(diǎn)處的切線傾斜角為α，求α的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）由已知可得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即切線斜率的函數(shù)，因?yàn)樵谇�線y=f（x）的所有切線中，有且僅有一條切線l與直線y=x垂直，所以導(dǎo)函數(shù)只有一個(gè)實(shí)根，進(jìn)而易得a的值與切線1的方程．
（2）因?yàn)樵谇�線y=f（x）的所有切線中，有且僅有一條切線l與直線y=x垂直，顯然切線斜率≥-1從而可以解出θ的范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

3

x³-3x²+ax（a∈R），
∴f′（x）=x²-6x+a．
∵在曲線y=f（x）的所有切線中，有且僅有一條切線l與直線y=x垂直，
∴x²-6x+a=-1有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根．
∴△=36-4（a+1）=0，
∴a=8．
∴x=3，f（3）=6．即切點(diǎn)（3，6）．
∴切線l：y-6=-（x-3），即x+y-3=0．
（2）∵f′（x）=x²-6x+8=（x-3）²-1≥-1．
∴tanα≥-1，
∵α∈[0，π），
∴α的取值范圍是[0，

π

2

）∪[

3π

4

，π）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時(shí)考查了直線的點(diǎn)斜式方程及直線的傾斜角，是一道綜合題，應(yīng)注意運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)求解．