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已知直線l：y=kx+1（k∈R）與圓C：x2+y2=4相交于點A、B，M為弦AB的中點．
（1）當k=1時求弦AB的中點M的坐標；
（2）求證：直線l與圓C總有兩個交點；
（3）當k變化時求弦AB的中點M的軌跡方程．
考點：軌跡方程,直線與圓的位置關系
專題：計算題,直線與圓
分析：（1）當k=1時，y=x+1與圓C：x2+y2=4聯立可得2x2+2x-3=0，即可求出弦AB的中點M的坐標；
（2）由線系方程判斷出直線過圓上的定點，即可得出結論‘
（3）設出弦中點的坐標，由OM⊥AB，可得x+ky=0①，M在l上，可得y=kx+1②，①②消去k，可得弦AB的中點M的軌跡方程．
解答： 解：（1）當k=1時，y=x+1與圓C：x2+y2=4聯立可得2x2+2x-3=0，
∵直線l：y=kx+1（k∈R）與圓C：x2+y2=4相交于點A、B，M為弦AB的中點，
∴M（
1
2
，
1
2
）；
（2）直線l：y=kx+1（k∈R），無論k為何值，直線l必須經過點（0，1），而點（0，1）為圓內一點，所以該直線必與圓C總有兩個交點；
（3）設M（x，y），則∵OM⊥AB，∴x+ky=0①
∵M在l上，∴y=kx+1②
①②消去k，可得弦AB的中點M的軌跡方程x2+(y-
1
2
)2=
1
4
．
點評：本題考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=[2sin（ωx+
π
4
）+
2
sinωx]cosωx-
2
sin2ωx（ω＞0）在一個周期內的圖象如圖所示，A為圖象的最高點，B、C為圖象與x軸的交點，且△ABC為等腰直角三角形．
（Ⅰ）求ω的值及函數f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x0）=
13
7
，且x0∈（1，3），求f（x0-1）的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=log
1
2
(x2-ax-a)的值域為R，且在（-∞，1-
3
）上是增函數，則a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知等差數列{an}中an=21-3n，求當n為多少時，Sn有最大值且求出最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

直線
x=3-tcos20°
y=tsin(-20°)
（t為參數）的傾斜角是（　　）
A、20°B、70°
C、110°D、160°

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（
2
sin（
x
2
-
π
4
），
3
cos
x
2
），向量
b
=（
2
sin（
x
2
+
π
4
），2sin
x
2
），函數f（x）=
a
•
b
．
（1）求函數f（x）的對稱軸方程及單調遞增區(qū)間；
（2）在銳角△ABC中，若f（A）=
2
3
，求cosA的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知曲線W上的動點M到點F（1，0）的距離等于它到直線x=-1x=-1的距離．過點P（-1，0）任作一條直線l與曲線W交于不同的兩點A、B，點A關于x軸的對稱點為C．
（Ⅰ）求曲線W的方程；
（Ⅱ）求△PBC面積S的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知tanα=-
3
4
，則
3sinα+2cosα
sinα-4cosα
=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
1
3
x3-3x2+ax（a∈R）的所有切線中，有且僅有一條切線l與直線y=x垂直．
（1）求a的值和切線l的方程；
（2）設曲線y=f（x）在任一點處的切線傾斜角為α，求α的取值范圍．

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