Question

20．若存在實數(shù)x，y同時滿足x²+y²≤1，|x-a|+|y-1|≤1，則實數(shù)a的取值范圍是[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 化簡不等式組，作出對應的圖象，結合直線和圓相切的條件求出對應的a的值即可得到結論．

解答 解：∵存在實數(shù)x，y同時滿足x²+y²≤1，|x-a|+|y-1|≤1，
則-1≤y≤1，
則不等式，|x-a|+|y-1|≤1等價|x-a|-y+1≤1，
即|x-a|≤y，
作出x²+y²≤1，|x-a|≤y，對應的區(qū)域如圖，
當a＜0，x＞a直線方程為y=x-a，即x-y-a=0，
此時當直線x-y-a=0與圓相切時，圓心到直線的距離d=$\frac{|a|}{\sqrt{2}}$=1，即|a|=$\sqrt{2}$，
此時a=-$\sqrt{2}$，即此時B（-$\sqrt{2}$，0），
當a＞0，x＜a直線方程為y=-（x-a），即x+y-a=0，
此時當直線x+y-a=0與圓相切時，圓心到直線的距離d=$\frac{|a|}{\sqrt{2}}$=1，即|a|=$\sqrt{2}$，
此時a=$\sqrt{2}$，即此時A（$\sqrt{2}$，0），
若存在實數(shù)x，y同時滿足x²+y²≤1，|x-a|+|y-1|≤1，
則-$\sqrt{2}$≤a≤$\sqrt{2}$，
故答案為：[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵，綜合性較強，難度較大．