Question

9．證明：當(dāng)a＞3時(shí)，關(guān)于x方程x²+$\frac{8}{x}$=a²+$\frac{8}{a}$有3個(gè)實(shí)數(shù)解．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)x²+$\frac{8}{x}$=a²+$\frac{8}{a}$可得（x-a）（x+a-$\frac{8}{ax}$）=0，從而判斷方程的根的個(gè)數(shù)．

解答 證明：∵x²+$\frac{8}{x}$=a²+$\frac{8}{a}$，
∴x²+$\frac{8}{x}$-（a²+$\frac{8}{a}$）=0，
即（x-a）（x+a-$\frac{8}{ax}$）=0，
即（x-a）$\frac{a{x}^{2}+{a}^{2}x-8}{ax}$=0，
即∵△=（a²）²-4×a×（-8）=a⁴+32a，
∵a＞3，∴△＞0；
∴ax²+a²x-8=0有兩個(gè)不同的根，
又∵當(dāng)x=a時(shí)，ax²+a²x-8=2a³-8＞0，
故（x-a）$\frac{a{x}^{2}+{a}^{2}x-8}{ax}$=0有三個(gè)不同的根，
故當(dāng)a＞3時(shí)，關(guān)于x方程x²+$\frac{8}{x}$=a²+$\frac{8}{a}$有3個(gè)實(shí)數(shù)解．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程的化簡(jiǎn)與運(yùn)算，同時(shí)考查了整體思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．