Question

5．已知直線l：y=k（x-2）與拋物線C：y²=8x交于A，B兩點，點M（-2，4）滿足$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0，則|AB|=（　�。�

• A． 6
• B． 8
• C． 10
• D． 16

Answer 1

分析 先根據拋物線方程求得焦點坐標，直線y=k（x-2）過拋物線的焦點，將直線方程代入拋物線方程消去y，根據韋定理表示出x₁+x₂及x₁x₂進而求得y₁y₂和y₁+y₂，由$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0即可求得k的值，由弦長公式即可求得|AB|．

解答 解：由拋物線C：y²=8x可得焦點F（2，0），直線y=k（x-2）過拋物線的焦點，
代入拋物線方程，得到k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，△＞0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∴x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}+8}{{k}^{2}}$，x₁x₂=4．
∴y₁+y₂=$\frac{8}{k}$，y₁y₂=-16，
M（-2，4），$\overrightarrow{MA}$═（x₁+2，y₁-4），$\overrightarrow{MB}$=（x₂+2，y₂-4），
$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=（x₁+2，y₁-4）•（x₂+2，y₂-4）=x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+y₁y₂-4（y₁+y₂）+16=0，
整理得：k²-2k+1=0，解得k=1，
∴x₁+x₂=12，x₁x₂=4．
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{1{2}^{2}-4×4}$=16，
故答案選：D．

點評 本題考查了直線與拋物線的位置關系，考查拋物線的標準方程及其性質、向量的數量積公式、弦長公式等基礎知識與基本技能方法，考查學生的計算能力，屬于中檔題．