Question

20．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為2$\sqrt{3}$，直線y=k（x-1）（k≠0）經(jīng)過E的長軸的一個四等分點，且與E交于P，Q兩點．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）記線段PQ為直徑的圓為⊙M，判斷點A（2，0）與⊙M的位置關(guān)系，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知，2c=2$\sqrt{3}$，2a=4，b²=a²-c²，即可求得a和b的值，寫出橢圓的方程；
（Ⅱ）將直線方程代入橢圓方程，求得關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得x₁+x₂和x₁•x₂，并代入直線方程求得y₁•y₂，表示出$\overrightarrow{AP}$和$\overrightarrow{AQ}$，利用向量數(shù)量積的坐標表示求得$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$＞0，因此點A在⊙M外．

解答 解：（Ⅰ）依題意得，2c=2$\sqrt{3}$，2a=4，即c=$\sqrt{3}$，a=$\sqrt{3}$，（2分）
∴b²=a²-c²=1，（3分）
所以E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．（4分）
（Ⅱ）點A在⊙M外．理由如下：（5分）
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$得（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0，（6分）
所以，△=（-8k²）²-4（1+4k²）（4k²-4）=48k²+16＞0，
所以x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$．（8分）
因為$\overrightarrow{AP}$=（x₁-2，y₁），$\overrightarrow{AQ}$=（x₂-2，y₂），
所以$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=（x₁-2）（x₂-2）+y₁•y₂，
=（1+k²）x₁•x₂-（2+k²）（x₁+x₂）+4+k²，
=$\frac{4（{k}^{2}+1）（{k}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$-$\frac{8{k}^{2}（2+{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}$+4+k²，（10分）
=$\frac{{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$．
因為k≠0，
所以$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$＞0．
∴cos∠PAQ＞0，
∴∠PAQ為銳角，
所以點A在⊙M外．（12分）

點評 本題考查橢圓的標準方程及橢圓的基本性質(zhì)，點與圓、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想等，屬于中檔題．