Question

14．已知直線l：x-my-1=0（m≠0）經(jīng)過拋物線y²=2px（p≠0）的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)p的值，并用m表示|AB|；
（2）設(shè)線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)N，求證：|AB|：|FN|為定值．

Answer 1

分析 （1）由直線系方程求出直線所過定點(diǎn)，得到拋物線焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，則p值可求，代入拋物線方程，和直線方程聯(lián)立后利用拋物線的弦長公式求得|AB|；
（2）由（1）得到線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)一步求得線段AB的垂直平分線方程，取y=0求得N的坐標(biāo)，得到|FN|，則由|AB|：|FN|=$\frac{4（{m}^{2}+1）}{2（{m}^{2}+1）}=2$得結(jié)論．

解答 （1）解：∵直線l：x-my-1=0（m≠0）過定點(diǎn)（1，0），
∴$\frac{p}{2}=1$，p=2．
∴拋物線方程為y²=4x，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-my-1=0}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得x²-（4m²+2）x+1=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴${x}_{1}+{x}_{2}=4{m}^{2}+2$．
則|AB|=${x}_{1}+{x}_{2}+p=4{m}^{2}+2+2=4（{m}^{2}+1）$；
（2）證明：由${x}_{1}+{x}_{2}=4{m}^{2}+2$，得${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{1}{m}（{x}_{1}+{x}_{2}-2）=\frac{1}{m}（4{m}^{2}+2-2）$=4m．
∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2m²+1，2m），
∴線段AB的垂直平分線方程為y-2m=-m（x-2m²-1），
取y=0，得x=2m²+3．
即N（2m²+3，0），
∴|FN|=2m²+3-1=2（m²+1）．
則|AB|：|FN|=$\frac{4（{m}^{2}+1）}{2（{m}^{2}+1）}=2$為定值．

點(diǎn)評 本題主要考查了拋物線的應(yīng)用，考查拋物線的幾何性質(zhì)．考查了考生的基礎(chǔ)知識的綜合運(yùn)用和知識遷移的能力，是中檔題．