Question

9．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且滿足等式n•2^n-1=a₁${C}_{n}^{1}$+a₂${C}_{n}^{2}$+…+a_n${C}_{n}^{n}$（n∈N^*），試求出這個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)a_n．

Answer 1

分析 由n•2^n-1=a₁${C}_{n}^{1}$+a₂${C}_{n}^{2}$+…+a_n${C}_{n}^{n}$（n∈N^*），可得：a₁=1，a₂=2，a₃=3．猜想：a_n=n（n∈N^*）．根據(jù)$r{∁}_{k+1}^{r}$=$（k+1）{∁}_{k}^{r-1}$，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：由n•2^n-1=a₁${C}_{n}^{1}$+a₂${C}_{n}^{2}$+…+a_n${C}_{n}^{n}$（n∈N^*），可得：
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1；當(dāng)n=2時(shí)，2×2=${∁}_{2}^{1}$+a₂，解得a₂=2；同理可得a₃=3．
猜想：a_n=n（n∈N^*）．
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時(shí)，a_k=k；
則當(dāng)n=k+1時(shí)，（k+1）•2^k=${∁}_{k+1}^{1}$+2${∁}_{k+1}^{2}$+…+$k{∁}_{k+1}^{k}$+a_k+1，
根據(jù)$r{∁}_{k+1}^{r}$=$（k+1）{∁}_{k}^{r-1}$，
∴（k+1）•2^k=$（k+1）{∁}_{k}^{0}$+$（k+1）{∁}_{k}^{1}$+…+$（k+1）{∁}_{k}^{k-1}$+a_k+1=（k+1）（2^k-1）+a_k+1，
∴a_k+1=k+1．
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立．
綜上可得：a_n=n（n∈N^*）成立．

點(diǎn)評 本題考查了排列組合的性質(zhì)、數(shù)學(xué)歸納法，考查了猜想歸納能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．