Question

19．已知函數(shù)f（x）=nlnx-mx+m，m，n∈R
（1）證明：曲線y=f（x）必經(jīng)過過定點（1，0）；
（2）若曲線y=f（x）與x軸相切，證明 m=n．

Answer 1

分析 （1）證明f（1）=0即可；
（2）由題可知，f（x）與x軸相切，即（1，0）點為其切點，即可證明．

解答 證明：（1）f（x）=nlnx-（x-1）m
令x=1，得f（1）=nln1-（1-1）m=0
由n，m∈R，則f（x）恒過（1，0）點
（2）由（1）可知，f（x）過（1，0）點，恰好是x軸上的．
由f'（x）=$\frac{x}{n}$-m可知，當(dāng)f'（x）=0時，即切線與x軸平行時，
可得$\frac{x}{n}$-m=0，x=$\frac{n}{m}$．
由題可知，f（x）與x軸相切，即（1，0）點為其切點．
則令x=1，則$\frac{n}{m}$=1，可得m=n．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．