Question

6．已知定義：在數(shù)列{a_n}中，若a${\;}_{n}^{2}$-a${\;}_{n-1}^{2}$=p（n≥2，n∈N^*，p為常數(shù)），則稱數(shù)列{a_n}為等方差數(shù)列，下列判斷：
①若{a_n}是“等方差數(shù)列”，則數(shù)列{a_n²}是等差數(shù)列；
②{（-1）ⁿ}是“等方差數(shù)列”；
③若{a_n}是“等方差數(shù)列”，則數(shù)列{a_kn}（k∈N^*，k為常數(shù)）不可能還是“等方差數(shù)列”；
④若{a_n}既是“等方差數(shù)列”，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列是常數(shù)列．
其中正確的結(jié)論是①②④．（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）

Answer 1

分析 利用“等方差數(shù)列”與“等差數(shù)列”的定義及其性質(zhì)即可判斷出結(jié)論．

解答 解：①{a_n}是“等方差數(shù)列”，∴a${\;}_{n}^{2}$-a${\;}_{n-1}^{2}$=p（n≥2，n∈N^*，p為常數(shù)），則數(shù)列{a_n²}是等差數(shù)列，正確；
②∵a_n=（-1）ⁿ，∴${a}_{n}^{2}$=1，則n≥2時(shí)，a${\;}_{n}^{2}$-a${\;}_{n-1}^{2}$，=0，∴數(shù)列{a_n}為等方差數(shù)列，正確；
③{a_n}是“等方差數(shù)列”，則數(shù)列{a_kn}（k∈N^*，k為常數(shù)）可能還是“等方差數(shù)列”，取a_n=2滿足條件，因此不正確；
④若{a_n}既是“等方差數(shù)列”，又是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，∴n≥2時(shí)，a${\;}_{n}^{2}$-a${\;}_{n-1}^{2}$=$[{a}_{1}+（n-1）d]^{2}$$-[{a}_{1}+（n-2）d]^{2}$=d[2a₁+（2n-3）d]為常數(shù)，必然d=0，
則該數(shù)列是常數(shù)列，正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、新定義、“等方差數(shù)列”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．