Question

8．將函數(shù)y=sinx圖象上的所有點(diǎn)向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C₁，再把曲線C₁上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的$\frac{1}{2}$（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=f（x）的圖象． 
（Ⅰ）寫出函數(shù)y=f（x）的解析式，并求f（x）的周期；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x）+cos2x，求g（x）在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換關(guān)系進(jìn)行求解即可．
（Ⅱ）根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)求出單調(diào)遞增區(qū)間即可．

解答 解：（1）將函數(shù)y=sinx圖象上的所有點(diǎn)向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位長(zhǎng)度，則C₁：$y=sin（x-\frac{π}{6}）$…（2分）   
再把曲線C₁上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的$\frac{1}{2}$（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=f（x）的圖象，即 $f（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）$…（4分）
則函數(shù)的周期T=$\frac{2π}{2}$=π…（6分）
（2）∵g（x）=f（x）+cos2x，
∴$g（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）+cos2x$…（7分），
則$g（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）$…（9分）
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
則kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
∵0≤x≤π，
∴當(dāng)k=0時(shí)，0≤x≤$\frac{π}{6}$，
當(dāng)k=1時(shí)，$\frac{2π}{3}$≤x≤π，
即g（x）在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間是[0，$\frac{π}{6}$]和[$\frac{2π}{3}$，π]…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)圖象之間的關(guān)系以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度不大．