Question

3．設(shè)△ABC內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且$ccosB=\sqrt{3}bsinC$．
（1）若${a^2}sinC=4\sqrt{3}sinA$，求△ABC的面積；
（2）若$a=2\sqrt{3}$，$b=\sqrt{7}$，且c＞b，BC邊的中點(diǎn)為D，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由題意和正弦定理以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得tanB，可得B值，再由正弦定理整體可得ac的值，代入三角形的面積公式計(jì)算可得；
（2）由余弦定理可得c值，在△ABD中由余弦定理可得．

解答 解：（1）∵在△ABC中$ccosB=\sqrt{3}bsinC$，
∴由正弦定理可得sinCcosB=$\sqrt{3}$sinBsinC，
約掉sinC可得cosB=$\sqrt{3}$sinB，
∴tanB=$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，B=$\frac{π}{6}$，
又∵${a^2}sinC=4\sqrt{3}sinA$，
∴a²c=4$\sqrt{3}$a，∴ac=4$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\sqrt{3}$；
（2）∵$a=2\sqrt{3}$，$b=\sqrt{7}$，
∴由余弦定理可得7=12+c²-2×2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
解關(guān)于c的方程可得c=5，或c=1（不滿(mǎn)足c＞b，舍去）
∵BC邊的中點(diǎn)為D，∴在△ABD中由余弦定理可得：
AD²=（$\sqrt{3}$）²+5²-2×$\sqrt{3}$×5×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=13，
開(kāi)方可得AD的長(zhǎng)為$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正余弦定理解三角形，涉及整體法和三角形的面積公式，屬中檔題．