Question

10．如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，PA=AB，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動．
（1）當點E為BC的中點時，證明EF∥平面PAC；
（2）證明：無論點E在邊BC的何處，都有PE⊥AF．

Answer 1

分析 （1）連結EF，推導出EF∥PC，由此能證明EF∥平面PAC．
（2）推導出BC⊥PA，BC⊥AB，從而BC⊥平面PAB，進而BC⊥AF，再求出AF⊥PB，從而AF⊥平面PBC，由此能證明無論點E在邊BC的何處，都有PE⊥AF．

解答 證明：（1）連結EF，
∵點F是PB的中點，點E為BC的中點，
∴EF∥PC，
∵EF?平面PAC，PC?平面PAC，
∴EF∥平面PAC．
證明：（2）∵PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，
∴BC⊥PA，BC⊥AB，
∵PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，
∵AF?平面PAB，∴BC⊥AF，
∵PA=AB，點F是PB的中點，∴AF⊥PB，
∵PB∩BC=B，∴AF⊥平面PBC，
∵點E在邊BC上移動，∴PE?平面PBC，
∴無論點E在邊BC的何處，都有PE⊥AF．

點評 本題考查線面平行的證明，考查線線垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．