Question

已知橢圓C的焦點在x軸上，短軸長和焦距均為2．
（1）求橢圓C的標準方程及離心率；
（2）設O為原點．若點A在直線y=2上，點B在橢圓C上，且OA⊥OB，求線段AB長度的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程,橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設橢圓方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1，由題意可求2c，2b，然后由a²=b²+c²可求a，進而可求橢圓C方程；
（2）由題意設點A，B的坐標分別為（t，2），（x₀，y₀），可得|AB|²=（x₀-t）²+（y₀-2）²=（x₀+

2y0

x0

）²+（y₀-2）²=

x 2 0

2

+

4

x 2 0

+3，利用基本不等式求最值即可．

解答： 解析�。�1）由題意知，2c=2，2b=2，∴c=1，b=1，
∴c²=1，b²=1，從而a²=c²+b²=2．∴a=

2

，
∴橢圓C的標準方程為

x2

2

+y²=1，橢圓C的離心率e=

2

2

．
（2）設點A，B的坐標分別為（t，2），（x₀，y₀），其中x₀≠0．
因為OA⊥OB，所以

OA

•

OB

=0，即tx₀+2y₀=0，解得t=-

2y0

x0

．
又

x

2 0

+2

y

2 0

=2，
所以|AB|²=（x₀-t）²+（y₀-2）²
=（x₀+

2y0

x0

）²+（y₀-2）²
=

x 2 0

2

+

4

x 2 0

+3，
≥2

2

+3．
當且僅當x₀=2時，等號成立，
所以|AB|≥

2

+1．
故線段AB長度的最小值為

2

+1．

點評：本題主要考查了利用橢圓的性質求解橢圓方程，直線與橢圓的相交關系的應用，屬于中檔試題