Question

13．函數(shù)f（x）=log_a（a^x-1）（0＜a＜1）
（1）求f（x）的定義域；            
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）解方程f（2x）=f^-1（x）．

Answer 1

分析 （1）對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，根據(jù)a的范圍解不等式即可．
（2）利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性證明即可得答案．
（3）求出反函數(shù)f^-1（x），在求解方程．

解答 解：（1）由題意：a^x-1＞0，故而：a^x＞a⁰，
∵0＜a＜1，
∴x＜0
故f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）；        
（2）由（1）可知定義域?yàn)椋?∞，0），∵0＜a＜1，
∴f（x）=log_au是減函數(shù)．
令u=a^x-1，0＜a＜1，
可知u=a^x-1在區(qū)間（-∞，0）也是減函數(shù)，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得：
f（x）=log_a（a^x-1）在區(qū)間（-∞，0）是增函數(shù)，
（3）由題意：f^-1（x）=log_a（a^x+1）
那么：f（2x）=f^-1（x），即log_a（a^2x-1）=log_a（a^x+1）
可得：a^2x-1=a^x+1
化簡(jiǎn)：（a^x）²-a^x-2=0
因式分解：（a^x+1）（a^x-2）=0
解得：a^x=2，a^x=-1（舍去）
故而方程的解為x=log_a2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性以及反函數(shù)的求法和計(jì)算能力．難度一般，屬于中檔題．